Matematiken som löste tvist för 3 700 år sedan

Ända sedan slutet av 1800-talet har en gammal lertavla förvarats på ett museum i Istanbul, utan att göra mycket väsen av sig. Fram till nu, då en australisk matematiker har upptäckt att den runt 3 700 år gamla tavlan i själva verket är det äldsta kända matematiska exemplet på tillämpad geometri.

På tavlan finns avancerade beräkningar för att skapa rätvinkliga trianglar, mer än 1 000 år före Pythagoras och hans berömda sats, som möjliggör just detta.

Upptäckten publiceras nu i tidskriften Foundations of Science.

– Den här upptäckten har stor betydelse för matematikens historia, säger Daniel Mansfield vid University of New South Wales i Sydney, till tidskriften.

Tavlan, som går under beteckningen Si.427, har fungerat som en så kallad förrättningskarta. Det vill säga en karta som visar var en tomtgräns slutar och en annan tar vid. Den kommer ursprungligen från Babylonien i nuvarande Irak och tros ha tillverkats någon gång mellan 1 900 och 1 600 år före vår tideräkning.

– Det är en typ av övervakningskarta som användes för att definiera gränser. Den här kartan innehåller legala och geometriska detaljer om ett område som styckats av, säger Mansfield.

Att dela upp mark innebär ofta ett behov av rätvinkliga trianglar, det vill säga en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Att skapa räta vinklar är dock lättare sagt än gjort.

Ett sätt är att använda sig av Pythagoras sats eller de Pythagoreiska tripplar denna sats ofta innehåller. Det enklaste exemplet på en sådan trippel är 3-4-5, där de två första talen representerar de sidor (kateterna) som bildar den räta vinkeln i triangeln, medan den sistnämnda är diagonalen eller hypotenusan, som binder ihop de två förstnämnda.

Problemet var bara att Pythagoras inte ens var född vid den här tiden. Dessutom använde sig babylonierna av det sexagesimala talsystemet, det vill säga ett system där talet 60 användes som bas, vilket försvårade saken ytterligare.

Trots det lyckades alltså babylonierna klura ut hur man skulle göra.

– Den övervakare som skapade Si427 använde sig av en mängd olika Pythagoreiska tripplar, både som rektanglar och rätvinkliga trianglar, för att skapa korrekta räta vinklar, säger David Mansfield.

För fyra år sedan upptäckte han att en annan lertavla från Babylonien, Plimpton 322, troligtvis användes som en sorts trigonometrisk tabell.

– Det är allmänt känt att trigonometri, det vill säga den del av matematiken som studerar trianglar, utvecklades i det antika Grekland genom att man studerade natthimlen. Men babylonierna utvecklade en sorts proto-variant. Inte för att studera natthimlen, utan för att mäta landområden, säger David Mansfield.

Många av de tavlor som han har studerat, inklusive Si427, handlar om en konflikt mellan en framstående person, Sin-bel-apli, och en rik kvinnlig landägare.

– Dispyten handlade om några värdefulla dadelpalmer och var gränsen mellan de båda egendomarna skulle gå. Den lokala administratören skickar ut en övervakare för att lösa konflikten, och det är lätt att förstå varför noggrannhet var så viktigt, när det handlade om ett bråk mellan två så pass mäktiga individer, säger David Mansfield.

Johan Nilsson/TT